Question

设圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线l交两坐标轴于A（a，0），B（0，b），（ab≠0）．
（1）求a，b应满足的条件；
（2）求线段AB中点的轨迹方程；
（3）若a＞2，b＞2，求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）写出直线l的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求a，b应满足的条件；
（2）设出线段AB中点的坐标，得到坐标满足的关系，代入直线l的方程可求AB中点的轨迹方程；
（3）若a＞2，b＞2，表示出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出三角形面积的最小值．

解答：解：（1）直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0．
依题意，圆心（1，1）到l的距离d=r
得

|b+a-ab|

b2+a2

=1⇒(a-2)(b-2)=2为a，b应满足的条件；
（2）设AB的中点为P（x，y），则

a 2 =x b 2 =y

⇒

a=2x b=2y

代入（a-2）（b-2）=2，
有(x-1)(y-1)=

1

2

为线段AB中点的轨迹方程．
（3）由（a-2）（b-2）=2⇒ab=2a+2b-2．又a＞2，b＞2，
∴S△AOB=

1

2

ab=a+b-1
=(a-2)+(b-2)+3≥2

(a-2)(b-2)

+3=3+2

2

．
当且仅当a=b=2+

2

时取
等号，所以，△AOB面积的最小值是3+2

2

．

点评：本题考查直线与圆的位置故选，轨迹方程的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．