题目内容

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且Δ=b2-4ac,试判断下列命题的真假,若命题为假,则举出一个反例说明;若命题为真,则证明之.

命题(1):若Δ＜0,则af(x)≤0;

命题(2):若Δ＞0,x1、x2是方程f(x)=0的两根,且x1＜x2,则当x1＜x＜x2时,af(x)＜0;当x＜x1或x＞x2时,af(x)＞0.

解：(1)假命题.若a＞0,则af(x)＞0,如f(x)=x2+1.

(2)真命题.a＞0时,f(x)=a(x-x1)(x-x2).

当x1＜x＜x2时,f(x)＜0,af(x)＜0;

当x＜x1或x＞x2时,f(x)＞0,af(x)＞0,a＜0时,f(x)=a(x-x1)(x-x2).

当x1＜x＜x2时,f(x)＞0,af(x)＜0;

当x＜x1或x＞x2时,f(x)＜0,af(x)＞0.

练习册系列答案
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设二次函数f(x)=x2+x+c(c＞
1
8
)的图象与x轴的左右两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x2-x1的取值范围为（　　）
A、（0，1）
B、(0，
2
2
)
C、(
1
2
，
2
2
)
D、(
2
2
，1)
若二次函数f(x)=a
x
2
 
+bx+c(a≠0)的图象和直线y=x无交点，现有下列结论：
①方程f[f（x）]=x一定没有实数根；
②若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；
③若a＜0，则必存存在实数x0，使f[f（x0）]＞x0；
④若a+b+c=0，则不等式f[f（x）]＜x对一切实数都成立；
⑤函数g(x)=a
x
2
 
-bx+c的图象与直线y=-x也一定没有交点．
其中正确的结论是
①②④⑤
①②④⑤
（写出所有正确结论的编号）．
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，函数y=f(x)+
2
3
x-1的图象过原点且关于y轴对称，记函数 h(x)=
x
f(x)．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）当a=
1
10
时，求函数y=h(x)的单调递减区间；
（Ⅲ）试讨论函数 y=h（x）的图象上垂直于y轴的切线的存在情况．
已知二次函数f(x)=
-x2-x+2
的定义域为A，若对任意的x∈A，不等式x2-4x+k≥0成立，则实数k的最小值为
3
3
．

已知二次函数f(x)=a  +2ax+1在[-3,2]上有最大值5，则实数a的值为____________

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