Question

已知数列{a_n}为等差数列，S_n为{a_n}的前几项和，{a_n}的公差为d．
（I）若{a_n}中，a₂，S₄，S₅成等差数列，且a₃，a₄+1，S₅-3成等比数列．求a_n．
（II）若d＜0，试比较2Sn+Sn+2与4Sn+1的大小．

Answer 1

分析：（I）利用等差数列和等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）作商与1比较即可．

解答：解：（I）设{a_n}的首项为a₁公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d，Sn=na1+

1

2

n(n-1)d
依体意得

a1+d+5a1+ 1 2 ×5×4d=2(4a1+ 1 2 ×4×3d) (a1+2d)(5a1+10d-3)=(a1+3d+1)2

，
化为

2a1+d=0 (a1+2d)(5a1+10d-3)=(a1+3d+1)2

，
解得：

a1=-1 d=2

或

a1= 1 20 d=- 1 10

，
∴an=2n-3或an=-

1

10

n+

3

20

（II）∵

2Sn+Sn+2

4Sn+1

=2(Sn+2-Sn+1)-(Sn+1-Sn)=2an+2-an+1=2d
∵d＜0∴2d＜1∴2Sn+Sn+2＜4Sn+1．

点评：熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式及其前n项和公式、两个数比较大小的方法等是解题的关键．