Question

设函数f(x)=

2x+3

3x

，作数列{bn}：b1=1，bn=f(

1

bn-1

)(n≥2)，
求和：Wn=b1b2-b2b3+b3b4-…+(-1)n-1•bnbn+1．

Answer 1

∵f（x）=

2x+3

3x

=

2

3

+

1

x

，bn=f(

1

bn-1

)，n≥2，
∴bn=

2

3

+bn-1，
∵b₁=1，∴{b_n}是首项为1，公差为

2

3

的等差数列，
∴bn=

2n+1

3

，
∴bnbn+1=

1

9

(4n2+8n+3)，
①当n为偶数时：
∵b2=

5

3

，bn=

2n+1

3

，
∴W_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_n-1b_n-b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）
=-2×

2

3

（b₂+b₄+…+b_n）
=-

4

3

×[

n

4

(

5

3

+

2n+1

3

)]
=-

1

9

(2n2+6n)；
②当n为奇数时：
∵b2=

5

3

，bn-1=

2n-1

3

，
∴W_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_n-2b_n-1-b_n-1b_n+b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n-1（b_n-2-b_n）+b_nb_n+1
=-2×

2

3

(b2+b4+…+bn-1)+b_nb_n+1
=-

4

3

×[

n-1

4

(

5

3

+

2n-1

3

)]+

1

9

(4n2+8n+3)
=

1

9

(2n2+6n+7)．
故Wn=

- 1 9 (2n2+6n)，n为偶数 1 9 (2n2+6n+7)，n为奇数

．