Question

已知α∈[0，π]，讨论方程x²cosα+y²sinα=1所表示的曲线的类型，当它表示圆锥曲线时，试求其离心率．

Answer 1

分析：对α分类讨论和利用圆锥曲线的标准方程即可得出．

解答：解：①当α=0时，sinα=0，cosα=1，方程表示两条直线x=±1；       
②当0＜α＜

π

4

时，0＜sinα＜cosα，方程表示焦点在y轴上的椭圆，
其离心率为

1-tanα

；                                          
③当α=

π

4

时，sinα=cosα=

2

2

，方程表示中心在原点的圆；        
④当

π

4

＜α＜

π

2

时，0＜cosα＜sinα，方程表示焦点在x轴上的椭圆，
其离心率为

tanα-1

⑤当α=

π

2

时，cosα=0，sinα=1，方程表示两条直线y=±1；        
⑥当

π

2

＜α＜π，sinα＞0，cosα＜0，方程表示焦点在y轴上的双曲线，
其离心率为

1-tanα

⑦当α=π时，cosα=-1，sinα=0，方程变为x²=-1，
它不表示任何曲线．

点评：熟练掌握圆锥曲线的标准方程、分类讨论的思想方法是解题的关键．