Question

已知数列{a_n}为等差数列，公差为d，{b_n}为等比数列，公比为q，且d=q=2，b₃+1=a₁₀=5，设c_n=a_nb_n．
（1）求数列{c_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}的前n项和为S_n，
（3）（理）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件求得a_n=2n-15，b_n=2^n-1，可得c_n =a_nb_n=（2n-15）•2^n-1．
（2）根据 S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，用错位相减法求得错位相减求得S_n的解析式，再利用数列极限的运算法则求得= 的值．
解答：解：（1）∵a₁₀=5，d=2，∴a_n=2n-15．
又∵b₃=4，q=2，∴b_n=2^n-1，∴c_n=（2n-15）•2^n-1．
（2）∵S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，∴2S_n=2c₁+2c₂+2c₃+…+2c_n，
错位相减，得-S_n=c₁+（c₂-2c₁）+（c₃-2c₂）+…+（c_n-2c_n-1）-2c_n．
∵c₁=-13，c_n-2c_n-1=2ⁿ，
∴-S_n=-13+2²+2³+…+2ⁿ-（2n-15）•2ⁿ=-13+4（2^n-1-1）-（2n-15）•2ⁿ
=-17+2ⁿ⁺¹-（2n-15）•2ⁿ∴S_n=17+（2n-17）•2ⁿ．
∴= 
= ．
点评：本题主要考查求数列的极限，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．