Question

设是非负函数,当x₁、x₂≥0时,有f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂)+2.求证:对一切实数n∈N^*都有f(nx)=n².

      

Answer 1

证明:(1)当n=1时,f(nx)= =1²·=n²,所以原式成立.?

       (2)假设n=k时,原式成立,即f(kx)=k²,??

       则n=k+1时,f(nx)=f［(k+1)x］=f(kx+x)=f(kx)+ +2

       =k²++2?

       =k²++2k?

       =(k+1)²=n²,?

       即n=k+1时,原式成立.?

       由(1)(2)可知对一切n∈N^*,原式成立.