题目内容

等比数列{a_n}中，a₁，a₂，a₃分别是表第一、二、三行中的某一个数，且a₁，a₂，a₃中的任何两个数不在表的同一列．
第一列第二列第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，数列{b_n}满足 $数学公式$ $数学公式$ ，设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

解：（1）当a₁=3时，不合题意
当a₁=2时，当且仅当a₂=6，a₃=18时符合题意，
当a₁=10时，不合题意
因此a₁=2，a₂=6，a₃=18，所以q=3，
所以 $\text{[math]}$ ．
（2）∵函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，
∴f（ $\text{[math]}$ ）+f（1- $\text{[math]}$ ）=1，解得f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴b₁=f（0）+f（1）=1，
$\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
当n为奇数时， $\text{[math]}$ ；当n为偶数时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴c_n=a_nb_n=（n+1）•3^n-1，
∴数列{c_n}的前n项和S_n=c₁+c₂+…+c_n=2+3×3+4×3²+…+n•3^n-2+（n+1）•3^n-1，①
3S_n=2×3+3×3²+4×3³+…+n•3^n-1+（n+1）•3ⁿ，②
①-②，得-2S_n=2+3+3²+3³+…+3^n-1-（n+1）•3ⁿ
=2+ $\text{[math]}$ -（n+1）•3ⁿ
=2- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -（n+1）•3ⁿ
= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由表格可看出a₁，a₂，a₃分别是2，6，18，由此可求出{an}的首项和公比，继而可求通项公式．
（2）由函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，知f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ．c_n=a_nb_n=（n+1）•3^n-1，由错位相减法能够求出数列{c_n}的前n项和S_n．
点评：本题考查数列的通项公式和数列前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法、等比数列前n项和公式、数列的函数性质的灵活运用．