Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣kx且f（x）在区间（2，+∞）上为增函数．
（1）求k的取值范围；
（2）若函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意f′（x）=x2﹣（k+1）x，

因为f（x）在区间（2，+∞）上为增函数，

所以f′（x）=x2﹣（k+1）x≥0在（2，+∞）上恒成立，即k+1≤x恒成立，

又x＞2，所以k+1≤2，故k≤1，

当k=1时，f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1在x∈（2，+∞）恒大于0，故f（x）在（2，+∞）上单增，符合题意．

所以k的取值范围为k≤1．

（2）解：设 ，

h′（x）=x2﹣（k+1）x+k=（x﹣k）（x﹣1），

令h′（x）=0得x=k或x=1，由（1）知k≤1，

①当k=1时，h′（x）=（x﹣1）2≥0，h（x）在R上递增，显然不合题意；

②当k＜1时，h（x），h′（x）随x的变化情况如下表：

由于 ＞0，欲使f（x）与g（x）图象有三个不同的交点，

即方程f（x）=g（x），也即h（x）=0有三个不同的实根．

故需 即（k﹣1）（k2﹣2k﹣2）＜0，

所以 ，解得 ．

综上，所求k的范围为

【解析】（1）求出f（x）的导函数，因为f（x）在（2，+∞）上为增函数，所以得到导函数在（2，+∞）上恒大于等于0，列出k与x的不等式，由x的范围即可求出k的取值范围；（2）把f（x）和g（x）的解析式代入h（x）中确定出h（x）的解析式，求出h（x）的导函数，令导函数等于0求出此时x的值，然后根据（1）求出的k的范围，分区间讨论导函数的正负进而得到函数的单调区间，根据函数的增减性求出函数的极小值和极大值，判断得到极小值大于0，所以要使函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，即要极大值也要大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到实数k的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)的相关知识才是答题的关键．