Question

已知f（x）=|x²-1|+x²+kx；
（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x₁、x₂，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）这个方程为绝对值方程，可以利用绝对值的代数意义去绝对值符号，再分情况解一元二次方程即可，最后方程的解集为两种情况的并集．
（Ⅱ）先根据绝对值的代数意义，把函数f（x）化为分段函数，根据函数在（0，1）上的解析式为一次函数，可判断，当x∈（0，1]时，f（x）为单调函数，所以与x轴的交点至多有一个，即f（x）=0在（0，1]上至多一个解．而当方程f（x）=0的两个解若都在（1，2）上，则x₁x₂=-

1

2

，与两根都属于（1，2）矛盾，所以判断方程f（x）=0在（0，2）上的两个解x₁、x₂，一个在（0，1]，一个在（1，2）再根据两种情况的解析式求出k值，解出范围，最后，两种情况求出的k的范围取交集．

解答：（I）解：当k=2时，f（x）=|x²-1|+x²+2x=0．
①当x²-1≥1时，即x≥1或x≤-1时，方程化为2x²+2x-1=0，解得x=

-1± 3

2

．因为0＜

-1+ 3

2

＜1，舍去，所以x=

-1- 3

2

．
②当x²-1＜0时，即-1＜x＜1，方程化为1+2x=0，解得x=-

1

2

，
由①②得，方程f（x）=0的解为x=

-1- 3

2

或x=

1

2

（II）解：不妨设0＜x₁＜x₂＜2，
因为f（x）=

2x2+kx-1    |x|＞1 kx+1           x|≤1

所以f（x）在（0，1]是单调递函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，
若x₁，x₂∈（1，2），则x₁x₂=-

1

2

＜0，故不符合题意，因此，x1∈(0，1]，x2∈（1，2）．
由f（x₁）=0，得k=-

1

x1

，所以k≤-1；
由f（x₂）=0，得k=

1

x2

-2x2，所以-

7

2

＜k＜-1．
故当-

7

2

＜k＜-1时，f（x）=0在（0，2）上有两个解．

点评：本题主要考查了含绝对值的方程的解法，以及方程根的判断，做题时要善于借助函数的单调性与韦达定理．