Question

如图,设P₁,P₂,P₃,…,P_n,…是曲线y=上的点列,Q₁,Q₂,Q₃,…,Q_n,…是x轴正半轴上的点列,且△OQ₁P₁,△Q₁Q₂P₂,…,△Q_n-1Q_nP_n,…都是正三角形,设它们的边长为a₁,a₂,…,a_n,…,求证:a₁+a₂+…+a_n=n(n+1).

Answer 1

证明:(1)当n=1时,点P₁是直线y=x与曲线y=的交点,

    ∴可求出P₁(,).

    ∴a₁=|OP₁|=.

    而×1×2=,命题成立.

    (2)假设n=k(k∈N^*)时命题成立,即a₁+a₂+…+a_k=k(k+1),则点Q_k的坐标为(k(k+1),0),

    ∴直线Q_kP_k+1的方程为y=［x-k(k+1)］.

    代入y=,

    解得P_k+1点的坐标为(,(k+1)).

    ∴a_k+1=|Q_kP_k+1|=(k+1)·=(k+1).

    ∴a₁+a₂+…+a_k+a_k+1=k(k+1)+(k+1)=(k+1)(k+2).

    ∴当n=k+1时,命题成立.

    由(1)(2)可知,命题对所有正整数都成立.