Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$，求a_n．

Answer 1

分析 通过裂项可知a_n+1-a_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而累加计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴a_n-a_n-1=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，a_n-1-a_n-2=$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$，…，a₂-a₁=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$，
累加得：a_n-a₁=1-$\frac{1}{n}$，
又∵a₁=2，
∴a_n=3-$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查数列的通项，利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．