Question

【题目】已知

(1)证明: 图象恒在直线的上方;

(2)若在恒成立,求的最小值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) 的最小值为

【解析】试题分析：(1) 由题意只需证在上恒成立,令, ,,判断函数的单调性并求出最小值,即可得出结论;

(2) 令,则,可得,要使成立,只需恒成立,令, ,求导判断函数的单调性,可得,则可得的最小值为.

试题解析：

(1)由题意只需证

即证明在上恒成立.

令,

即在单调递增.

又,所以在在唯一的解,

记为,且,

可得当,

所以只需最小值,

易得,所以.所以结论得证.

(2)令,则,

所以,当时, ,

要使,只需,

要使成立,只需恒成立.

令

则,由,

当时, 此时有成立.

所以满足条件.

当时, 此时有,

不符合题意,舍去.

当时,令得,

可得当时, .即时, ,

不符合题意,舍去.

综上, ,

又,所以的最小值为.