Question

已知函数f（x）=|x²-a|（a∈R）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）当a＞0时，写出f（x）的单调递减区间；
（3）求函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值M（a）的表达式．

Answer 1

分析：（1）由奇偶性定义判定f（x）是定义域上的偶函数；
（2）a＞0时，画出f（x）的图象，得出f（x）的递减区间；
（3）讨论a的取值，求出f（x）的最大值f_max（x）的表达式，即得M（a）．

解答：解：（1）∵函数f（x）=|x²-a|（a∈R），
且任取x∈R，有f（-x）=|（-x）²-a|=|x²-a|=f（x），
∴f（x）是偶函数；
（2）当a＞0时，画出f（x）=|x²-a|的图象如图，
由图象知f（x）在(-∞，-

a

]，[0，

a

]上单调递减；
（3）当a≤0时，f（x）=x²-a，
∴f_max（x）=1-a；
当a≥1时，

a

≥1，
∴f（x）在[-1，0]上递增，在[0，1]上递减，f_max（x）=a；
当0＜a＜1时，由f(1)≥f(0)得a≤

1

2

，
∴0＜a≤

1

2

时，f_max（x）=1-a；

1

2

＜a＜1时，f_max（x）=a；
综上述：最大值M(a)=

1-a，a≤ 1 2 a，a＞ 1 2

．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性以及函数的最值问题，是综合性题目．