Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a1=

4

3

，（4ⁿ-1）a_n=3×4^n-1S_n，n∈N^*，设bn=

n

3an

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I）求S_n；
（II）求证：Tn＜

4

9

．

Answer 1

分析：（I）当n≥2时，利用递推公式a_n=S_n-S_n-1．可得{

Sn

4n-1

}是公比为1的等比数列，从而可求
（II）由（1）可得，Sn=

4

9

(4n-1)代入3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）a_n，可求a_n，b_n，结合数列的特点考虑利用错位相减求T_n可证

解答：解：（I）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．
∴当n≥2时，3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）（S_n-S_n-1）⇒（4^n-1-1）S_n=（4^n-1-1）S_n-1⇒

Sn

4n-1

=

Sn-1

4n-1-1

，…（2分）
∴{

Sn

4n-1

}是公比为1的等比数列，
∴

Sn

4n-1

=

S1

3

=

4

9

⇒Sn=

4

9

(4n-1)(n∈N*)．…（5分）
（II）将Sn=

4

9

(4n-1)代入3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）a_n，得
an=

4n

3

⇒bn=

n

3an

=

n

4n

．…（7分）
Tn=

1

4

+

2

42

+

3

43

+…+

n

4n

，

1

4

Tn=

1

42

+

2

43

+

3

44

+…+

n

4n-1

.⇒

3

4

Tn=

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

-

n

4n+1

=

1 4 - 1 4n • 1 4

1- 1 4

-

n

4n+1

=

1

3

-

1

3•4n

-

n

4n+1

⇒Tn=

4

9

-

3n+4

9•4n

．…（10分）
Tn=

4

9

-

3n+4

9•4n

＜

4

9

．…（12分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式，a_n=S_n-S_n-1．求解数列的通项公式，数列求和的错位相减求和的方法的应用，要掌握该求和方法．