Question

已知点A（-1，-1）．若曲线G上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则称G为Γ型曲线．给定下列三条曲线：
①y=-x+3（0≤x≤3）；  
②y=

2-x2

 (-

2

≤x≤0)；  
③y=-

1

x

  (x＞0)．
其中，Γ型曲线的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①点在线外，所以可以判断．②把给定的曲线方程变形，得到曲线曲线形状，知点A不在曲线上，通过分析进行判断．
③利用数形结合的思想判断．

解答：解：①因为点A不在直线y=-x+3上，直线与坐标轴的交点坐标为M（0，3），N（3，0），此时|MN|=3

2

，|AM|=

17

，|AN|=

17

．因为|AM|＜|MN|，所以存在两点B，C，使△ABC为正三角形，所以①是Γ型曲线．
②y=

2-x2

得x2+y2=2，图形是第三象限内的四分之一圆弧，曲线线与坐标轴的交点坐标为M（0，

2

），N（-

2

，0），此时弧长MN=

2 π

2

，最长的弦长为MN=2，|AM|=

4+2 2

，|AN|=

4-2 2

，如图可知三角形AMN不可能是正三角形，所以②不是Γ型曲线．
③利用数形结合思想，以A为圆心，做一个顶角是60°，由图象可知当圆与曲线相交时，则存在B、C，使使△ABC为正三角形，所以③为Γ型曲线．
故选C．

点评：本题是新定义问题，解题的关键是读懂题目的意思，并且能够把形的问题转化为代数方法或几何方法去解决，本题的综合性较强，运算量较大．