Question

设椭圆=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁(-2,0),左准线l₁与x轴交于点N(-3,0),过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点.

(1)求直线l和椭圆的方程;

(2)求证:点F₁(-2,0)在以线段AB为直径的圆上.

Answer 1

(1)解:可知直线l:y=(x+3).

由c=2及=3,解得a²=6.

∴b²=6-2²=2.

∴椭圆方程为=1.

(2)证明:联立方程组

将（2）代入（1）,整理得2x²+6x+3=0.

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则

x₁+x₂=-3,x₁x₂=.

方法一:·

=

=

==-1,

∴F₁A⊥F₁B,即∠AF₁B=90°.

∴点F₁(-2,0)在以线段AB为直径的圆上.

方法二: =(x₁+2,y₁)·(x₂+2,y₂)=(x₁+2)(x₂+2)+y₁y₂

=x₁x₂+2(x₁+x₂)+4+［x₁x₂+3(x₁+x₂)+9］

=x₁x₂+3(x₁+x₂)+7=0,

∴F₁A⊥F₁B,则∠AF₁B=90°.

∴点F₁（－2,0）在以线段AB为直径的圆上.