Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，S_n²=an(Sn-

1

2

)（n≥2）
（1）证明数列{

1

Sn

}是等差数列，并求a_n；
（2）设b_n=

Sn

2n+1

，求{b_n}的前n项和T_n；若对任意的n∈N^*都有Tn＜log

1

2

m，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）

S

2 n

=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，整理该递推式，由等差数列的定义可作出判断，根据等差数列通项公式可得

1

Sn

，从而可求S_n，根据an=

S1，n=1 Sn，n≥2

可求a_n；
（2）由（1）可得b_n，利用裂项相消法可求出T_n，进而可求其最大值，问题等价于最大值小于log

1

2

m，解出即可；

解答：（1）证明：

S

2 n

=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，整理可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2（n≥2），
∴{

1

Sn

}是等差数列，首项为1，公差为2，
则

1

Sn

=2n-1，所以Sn=

1

2n-1

，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

=-

2

(2n-1)(2n-3)

，
所以an=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

；
（2）解：b_n=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
所以T_n=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

，
对任意的n∈N^*都有Tn＜log

1

2

m，只须使log

1

2

m≥

1

2

，
解得0＜m≤

2

2

．

点评：本题主要考查由递推式求数列通项公式及数列求和，考查转化思想，裂项相消法对数列求和是高考考查重点内容．