题目内容
如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差.(1)设数列{an}是公方差为p的等方差数列，求an和an-1(n≥2,n∈N)的关系式；
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；
(3)设数列{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将a1,a2,a3,…,a10这种顺序的排列作为某种密码，求这种密码的个数.
(1)解：由等方差数列的定义可知an2-an-12=p(n≥2,n∈N).
(2)证法一：∵{an}是等差数列，设公差为d，则an-an-1=an+1-an=d.
又{an}是等方差数列，∴an2-an-12=an+12-an2.
∴(an+an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an),即d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0.
∴d=0，即{an}是常数列.
证法二：∵{an}是等差数列，设公差为d，则an-an-1=d. ①
又{an}是等方差数列，设公方差为p，则an2-an-12=p, ②
将①代入②,得d2+2dan-p=0. ③
同理,有d2+2dan-1-p=0. ④
两式相减得2d(an-an-1)=2d2=0.
∴d=0，即{an}是常数列.
证法三：(接证法二①、②)
由①、②得出：若d=0，则{an}是常数列.
若d≠0，则an=
+
是常数,矛盾.
∴{an}是常数列.
(3)解:依题意，an2-an-12=2(n≥2,n∈N)，
a12=4,an2=4+2(n-1)=2n+2，∴an=
或an=-
,
即该密码的第一个数确定的方法数是1，其余每个数都有“正”或“负”两种确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是29=512种.故这种密码共512种.
是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将
这种顺序的排列作为某种密码，则这种密码的个数为