Question

（2012•石家庄一模）四棱锥的正视图和俯视图如图，其中俯视图是直角梯形．
（I ）若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF丄CM，请说明理由；
（II）若平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I ）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明

BF

•

CM

=0，可得BF丄CM．
（II）求出平面ADE的法向量、平面ABC的法向量，利用平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°，可得a=

3

求出平面ABE的法向量，计算cos＜

AD

，

p

＞  =

6

4

，即可得到直线AD与平面ABE所成角的正弦值．

解答：解：（I ）若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，总有BF丄CM．
取BC中点O，连接AO，由俯视图可知，AO⊥面BCDE，取DE中点H，连接OH，OH⊥BC
以OC、OH、OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，设A（0，0，

3

），B（-1，0，0），C（1，0，0）
∴F（

1

2

，0，

3

2

）
设M（x，2x，

3

（1-x）），
∴

BF

=(

3

2

，0，

3

2

)，

CM

=(x-1，2x，

3

(1-x)
∴

BF

•

CM

=0，
∴BF丄CM．
（II）D（1，2，0），设A（0，0，a）（a＞0），∴

ED

=(2，1，0)，

AD

=(1，2，-a)
设平面ADE的法向量为

m

=(x1，y1，z1)，∴

m

•

ED

=0，

m

•

AD

=0
∴

2x1+y1=0 x1+2y1-az1=0

，∴可取

m

=(1 ，-2，-

3

a

)
∵平面ABC的法向量为

n

=(0，1，0)
∴cos＜

m

，

n

＞  =

-2

5+ 9 a2

∵平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°，
∴

-2

5+ 9 a2

=

2

2

，解得a=

3

设平面ABE的法向量为

p

=(x2，y2，z2)，
∵

BA

=(1，0，

3

)，

BE

=(0，1，0)
∴

p

•

BA

=0，

p

•

BE

=0
∴

x2+ 3 y2=0 y2=0

，
∴可取

p

=(

3

，0，-1 )
∴cos＜

AD

，

p

＞  =

6

4

∴直线AD与平面ABE所成角的正弦值为

6

4

．

点评：本题考查三视图与直观图的转换，考查线线垂直，考查直线与平面的所成角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．