题目内容
已知椭圆
+
=1，直线L：4x-5y+40=0，若椭圆上的点到直线l的距离最小值为
．
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
15
| ||
| 41 |
15
| ||
| 41 |
分析：由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交，将直线l：4x-5y+40=0平移，使得其与椭圆相切，则可知切线与直线l的距离最小或最大，故设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0与椭圆方程联立，利用判别式为0可求解．
解答：解：由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交，
设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0 （1）
由方程组
消去y，得25x2+8kx+k2-225=0 （2）
令方程（2）的根的判别式△=0，得64k2-4×25（k2-225）=0 （3）
解方程（3）得k1=25或k2=-25，
∴当k1=25时，直线m与椭圆交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x-5y+25=0
直线m与直线l间的距离d=
=
=
故答案为：
设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0 （1）
由方程组
|
消去y，得25x2+8kx+k2-225=0 （2）
令方程（2）的根的判别式△=0，得64k2-4×25（k2-225）=0 （3）
解方程（3）得k1=25或k2=-25，
∴当k1=25时，直线m与椭圆交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x-5y+25=0
直线m与直线l间的距离d=
| |40-25| | ||
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| 15 | ||
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15
| ||
| 41 |
故答案为：
15
| ||
| 41 |
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，解题的关键是将直线l：4x-5y+40=0平移，使得其与椭圆相切，属基础题．
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