Question

设函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+18y-7=0垂直，导函数f′（x）的最小值为12．
（1）求a，b，c的值；
（2）设g(x)=

f(x)

x2

，当x＞0时，求g（x）的最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c，∴c=0，
又∵f′（x）=3ax²+b的最小值为12，∴b=12；
又直线x+18y-7=0的斜率为-

1

18

，因此，f'（1）=3a+b=18，∴a=2，
∴a=2，b=12，c=0为所求．
（2）由（1）得f（x）=2x³+12x，∴当x＞0时，g(x)=

f(x)

x2

=2(x+

6

x

)≥2•2

x• 6 x

=4

6

，
∴g（x）的最小值为4

6

．