Question

已知a>0且a≠1，f(log_ax)＝(x－)．

(1)求f(x)；

(2)判断f(x)的单调性和奇偶性；

(3)对于f(x)，当x∈(－1,1)时，有f(1－m)＋f(1－2m)<0，求m的取值范围．

Answer 1

解：(1)令t＝log_ax(t∈R)，

则x＝a^t，且f(t)＝，

所以f(x)＝(a^x－a^－x)(x∈R)；

(2)因为f(－x)＝(a^－x－a^x)＝－f(x)，

且x∈R，所以f(x)为奇函数．

当a>1时，a^x－a^－x为增函数，

并且注意到>0，

所以这时f(x)为增函数．

当0<a<1时，类似可证f(x)为增函数．

所以f(x)在R上为增函数；

(3)因为f(1－m)＋f(1－2m)<0，且f(x)为奇函数，

所以f(1－m)<f(2m－1)．

因为f(x)在(－1,1)上为增函数，

所以

解之，得<m<1.

即m的取值范围是：(，1)．