Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，

M为AP的中点．

   （Ⅰ）求证：DM∥平面PCB；    

   （Ⅱ）求直线AD与PB所成角；

   （Ⅲ）求三棱锥P-MBD的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

解析:

（I）取PB的中点F，联结MF、CF，∵M、F分别为PA、PB的中点．

∴MF∥AB，且MF=AB．

∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，

∴MF∥CD且MF=CD．

∴四边形CDFM是平行四边形．

∴DM∥CF．

∵CF平面PCB，

∴DM∥平面PCB．                             4分

（Ⅱ）取AD的中点G，连结PG、GB、BD．  

∵PA=PD，        ∴PG⊥AD．

∵AB=AD，且∠DAB=60°，

∴△ABD是正三角形，BG⊥AD．

∴AD⊥平面PGB．

∴AD⊥PB．              8分

（Ⅲ）V_P-MBD=V_B-PMD       10分

V_B-PMD =××××=     14分