Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

n(an+3)

(n∈N*)，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn＞

1

36

．

Answer 1

分析：（1）由等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列，知(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=

1

n(an+3)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项求和法能求出S_n．从而得到Sn＞

1

36

．

解答：解：（1）∵等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列，
∴(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2
整理得：2a1d=d2，
∵a₁=1，解得d=2（d=0舍去）
∴an=2n-1(n∈N*)，
（2）bn=

1

n(an+3)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

2

(1-

1

n+1

)，
∴当n=1时，S_n取最小值S1=

1

2

(1-

1

2

)=

1

4

＞

1

36

．
∴Sn＞

1

36

．

点评：本题考查数列通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．