Question

（本小题满分14分）

已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行.

（1）求的值；  

（2）已知实数t∈R，求函数的最小值；

（3）令，给定，对于两个大于1的正数，

存在实数满足：，，并且使得不等式

恒成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）①当即时，              

②当即时，  

③当即时，

 ；      

,                      

【解析】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．

（1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a值，从而得到f（2）的值；

（2）令u=xlnx，再研究二次函数u²+（2t-1）u+t²-t图象是对称轴u= ，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+ ，再利用导数工具研究所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类讨论：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出a的取值范围．

解: 图象与轴异于原点的交点，

图象与轴的交点，

由题意可得，即，                    ………………………………………………2分

∴，                   …………………………………………3分

=………4分

令，在 时，，

∴在单调递增，                    ………………5分

图象的对称轴，抛物线开口向上

①当即时，               　…………………………………6分

②当即时，   ………………………………7分

③当即时，

            …………………8分

,

所以在区间上单调递增      　　………………………9分

∴时，

①当时，有，

，

得，同理，　　…………………１０分

∴ 由的单调性知    、

从而有，符合题设.          ………………11分

②当时，，

，

由的单调性知 ，

∴，与题设不符 ……………12分

③当时，同理可得，

得，与题设不符.           ……………………13分

∴综合①、②、③得                       ……………14分

说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.