Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并猜想这个数列的通项公式
（Ⅱ）证明数列{a_n}是等比数列．

Answer 1

分析：（I）由已知中数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-S_n，我们依次取n=1，2，3，4，即可求出a₁，a₂，a₃，a₄的值，然后分析所得前4项，分子和分母的分布规律，即可推断出这个数列的通项公式
（Ⅱ）由a_n=2-S_n可得a_n-1=2-S_n-1，两式相减即可判断出数列{a_n}的相邻两项的关系，进而得到数列{a_n}是等比数列．

解答：解：（1）a1=1，a2=

1

2

，a3=

1

4

，a4=

1

8

（4分）
猜想an=(

1

2

)n-1（6分）
（2）证明：

∵an=2-Sn

，
∴an-1=2-Sn-1(n≥2)∴an-an-1=2-Sn-(2-Sn-1)，即

an

an-1

=

1

2

(n≥2)
又∵a₁=2-S₁=2-a₁，
∴a1=1∴{an}是以1为首项，公比为

1

2

的等比数列（12分）

点评：本题考查的知识点是等比关系的确定及归纳推理，其中在确定等比数列时的关键是判断a_n，a_n-1是否为一个常数．