Question

定义在R上的可导函数f（x），且f（x）图象连续，当x≠0时，f′（x）+x^-1f（x）＞0，则函数g（x）=f（x）+x^-1的零点的个数为（　　）

A．1

B．2

C．0

D．0或2

Answer 1

分析：由题意可得

xf′(x)+f(x)

x

＞0，进而可得函数xf（x）单调性，而函数g(x)=

xf(x)+1

x

的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数，可得y=xf（x）+1＞1，无零点．

解答：解：由f'（x）+x^-1f（x）＞0，得

xf′(x)+f(x)

x

＞0，
当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，即[xf（x）]'＞0，函数xf（x）单调递增；
当x＜0时，xf'（x）+f（x）＜0，即[xf（x）]'＜0，函数xf（x）单调递减．
又g(x)=f(x)+x-1=

xf(x)+1

x

，函数g(x)=

xf(x)+1

x

的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数．
当x＞0时，y=xf（x）+1＞1，当x＜0时，y=xf（x）+1＞1，所以函数y=xf（x）+1无零点，
所以函数g（x）=f（x）+x^-1的零点个数为0个．
故选C．

点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，涉及函数的单调性，属中档题．