Question

如图，在长方体中，、分别是棱,

上的点，,
（1）  求异面直线与所成角的余弦值；
（2）  证明平面
（3）  求二面角的正弦值。

Answer 1

,

方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，

点A为坐标原点，设,依题意得,
,,
（1）  解：易得,
于是
所以异面直线与所成角的余弦值为
（2）  证明：已知,,
于是·=0，·=0.因此，,,又
所以平面
(3)解：设平面的法向量，则,即
不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。
于是，从而
所以二面角的正弦值为
方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA₁=4,CF=1.CE=
链接B₁C,BC₁，设B₁C与BC₁交于点M,易知A₁D∥B₁C，由,可知EF∥BC₁.故是异面直线EF与A₁D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A₁D所成角的余弦值为
（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC₁⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.
连接BF，同理可证B₁C⊥平面ABF,从而AF⊥B₁C,所以AF⊥A₁D因为，所以AF⊥平面A₁ED
(3)解：连接A₁N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A₁N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A₁N,故为二面角A₁-ED-F的平面角
易知，所以，又所以，在
连接A₁C₁,A₁F 在
。所以
所以二面角A₁-DE-F正弦值为