Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+bx²+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）设g（x）=x

f′(x)

，m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）由f′（2-x）=f′（x）可得其对称轴x=1，据此可得b值，求出直线y=4x-12与x轴交点（3，0），则f（3）=0，且f′（3）=4，从而可解得c、d值，根据f′（x）的符号即可求得函数的单调区间；
（2）把g（x）表示为分段函数并作出其图象，令x2-x=

1

4

，得x=

1+ 2

2

，根据图象对m进行分类讨论，由此可求得其最大值；

解答：解：（1）f′（x）=x²+2bx+c，
∵f′（2-x）=f′（x），∴函数y=f′（x）的图象关于直线x=1对称，则b=-1．
∵直线y=4x-12与x轴的交点为（3，0），
∴f（3）=0，且f′（3）=4，即9+9b+3c+d=0①，且9+6b+c=4②，由①②解得c=1，d=-3．
则f（x）=

1

3

x3-x2+x-3．
故f′（x）=x²-2x+1=（x-1）²，所以f（x）在R上单调递增；
（2）g（x）=x

(x-1)2

=x|x-1|=

x2-x，x≥1 x-x2，x＜1

，
其图象如图所示．当x2-x=

1

4

时，x=

1+ 2

2

，根据图象得：
（ⅰ）当0＜m≤

1

2

时，g（x）最大值为g（m）=m-m²；
（ⅱ）当

1

2

＜m≤

1+ 2

2

时，g（x）的最大值为

1

4

；
（ⅲ）当m＞

1+ 2

2

时，g（x）最大值为m²-m．

点评：本题考查函数的单调性的判断及函数最值的求解，导数是研究函数有关性质的强有力工具，考查分类讨论思想、数形结合思想．