Question

设命题P：关于x的不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，命题Q：函数y=lg（ax²-ax+1）的定义域为R．如果P且Q为假命题，P或Q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：分别求出命题P，Q为真命题时的等价条件，利用命题P或Q为真命题，P且Q为假命题，求a的范围即可．

解答：解：x+|x-2a|＞1的解集为R?函数y=x+|x-2a|在R上恒大于1．…（2分）
∵y=x+|x-2a|=

2x-2a，x≥2a 2a，x＜2a

∴函数y=x+|x-2a|在R上的最小值为2a…（5分）
∴不等式x+|x-2a|＞1的解集为R的充要条件是2a＞1?a＞

1

2

…（6分）
Q正确?ax²-ax+1＞0恒成立．当a=0时，ax²-ax+1=1＞0对一切实数恒大于0，适合题意．
当a≠0时，ax²-ax+1＞0恒成立?

a＞0 △=a2-4a＜0

⇒0＜a＜4
Q正确?ax²-ax+1＞0恒成立?0≤a＜4，…（10分）
有题意知P和Q有且仅有一个正确，
故实数a的取值范围为{a|a≥4或0≤a≤

1

2

}   …（12分）

点评：本题主要考查复合命题的真假判断和应用，要求熟练掌握复合命题真假与简单命题真假之间的关系．