Question

已知：z₁=2cosx+isinx，z₂=a+bi，a、b∈R，i为虚数单位，f（x）=cosx•Re(

.

z1

•z2)
且f（0）=2，f(

π

3

)=

1

2

+

3

2

，
（1）求z₂；
（2）求函数f（x）在（-π，π）上的单调递增区间；
（3）若α-β≠Kπ，K∈z，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）计算(

.

z1

•z2)的值，可得 Re(

.

z

1•z2)=2acosx+bsinx，从而得到f（x）=a(1+cos2x)+

1

2

bsin2x，再由f（0）=2，f(

π

3

)=

1

2

+

3

2

，求出a和b的值，即得z₂的值．
（2）根据f(x)=1+cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)+1及x∈（-π，π），可得-

7π

4

＜2x+

π

4

＜

9π

4

，故当 -

7π

4

＜2x+

π

4

＜-

3π

2

，或-

π

2

≤2x+

π

4

≤

π

2

，或

3π

2

≤2x+

π

4

＜

9π

4

时，函数单调递增，由此求得x的范围，即可得到函数f（x）在（-π，π）上的单调递增区间．
（3）由f（α）=f（β）得 sin(2α+

π

4

)=sin(2β+

π

4

)，故2α+

π

4

=2kπ+2β+

π

4

或2α+

π

4

=2kπ+π-(2β+

π

4

)，k∈Z，求得α+β=kπ+

π

4

，k∈Z，得tan（α+β）的值．

解答：解：（1）∵z₁=2cosx+isinx，z₂=a+bi，a、b∈R，∴(

.

z1

•z2)=（2cosx-isinx）（a+bi）=（2acosx+bsinx）+（2bcosx-asinx）i，
故 Re(

.

z

1•z2)=2acosx+bsinx，
∴f（x）=cosx•（2acosx+bsinx）=2acos²x+bsinxcosx=a(1+cos2x)+

1

2

bsin2x，
∵

f(0)=2a=2 f( π 3 )= 1 2 a+ 3 4 b= 1 2 + 3 2

，∴

a=1 b=2

，∴z₂=1+2i．
（2）由以上可得 f(x)=1+cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 
kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z．
再由x∈（-π，π）可得  -π＜x≤-

7π

8

、或-

3π

8

≤x≤

π

8

、或

5π

8

≤x＜π，
∴函数f（x）在（-π，π）上的单调递增区间为：（-π，-

7π

8

]、[-

3π

8

，

π

8

]、[

5π

8

，π）．
（3）由f（α）=f（β）可得  sin(2α+

π

4

)=sin(2β+

π

4

)，
故2α+

π

4

=2kπ+2β+

π

4

或2α+

π

4

=2kπ+π-(2β+

π

4

)，k∈Z，
可得 α-β=kπ或α+β=kπ+

π

4

，k∈Z，
∵已知 α-β≠Kπ，得到 α+β=kπ+

π

4

，k∈Z，
故有  tan(α+β)=tan(kπ+

π

4

)=1．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，二倍角公式，正弦函数的单调增区间，求出f（x）=a(1+cos2x)-

1

2

bsin2x，是解题的突破口．