Question

已知函数f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)，则下列结论中，
（1）f（x）的最小正周期为π；
（2）f（x）的对称轴为x=

2

3

π+2kπ(k∈Z)；
（3）点(

2π

3

，0)是f（x）的一个对称中心；
（4）y=cos

x

2

的图象向右平移

2π

3

得到f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)的图象．
其中正确结论的序号为

②④

（把正确结论的序号都写上）．

Answer 1

分析：根据三角函数中正弦函数的周期公式，可以判断①的真假；根据对称轴对应的函数值是最值，可以判断②的真假；根据对称中心的坐标可以判断③的真假；根据三角函数的图象的平移的大小和方向和诱导公式，可以判断④的真假；进而得到答案．

解答：解：f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)对应的周期是T=

2π

1 2

=4π，故①不正确；
要判断f（x）的对称轴为x=

2

3

π+2kπ(k∈Z)，
只要把对称轴代入得到y=f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)=sin（kπ+

π

3

+

π

6

），
当k是一个偶数时，结果等于1，当k是一个奇数时，结果是-1，都符合对称轴的特点，故②正确；
要检验一个点是否是正弦函数的对称中心，只要把横标代入，看纵标是否为0，
而y=sin（

π

3

+

π

6

）=1，故这个点不是对称中心，故③不正确；
把y=cos

x

2

的图象向右平移

2π

3

得到f（x）=cos[

1

2

(-

2π

3

+x)]=cos（

x

2

-

π

3

）=sin（

x

2

+

π

6

）的图象，故④正确．
综上可知②④正确，
故答案为：②④

点评：本题考查命题的真假判断及其应用，三角函数的周期公式的应用，正弦函数的对称性包括轴对称和中心对称，图象的平移变换和诱导公式的应用，本题解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，本题是一个中档题目．