Question

已知函数f(x)=cos(2x-

π

3

)+sin2x-cos2x．
（I）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴方程；
（II）设函数g（x）=[f（x）]²+f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）利用两角差的余弦函数展开函数，再用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简为sin(2x-

π

6

)，然后求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴方程；
（II）化简函数g（x）=[f（x）]²+f（x），把sin(2x-

π

6

)看为一个未知数，配成平方关系，然后求g（x）的值域．

解答：解：（I）f(x)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=sin(2x-

π

6

)
∴最小正周期T=

2π

2

=π
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，
得x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)
函数图象的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)．
（II）g(x)=[f(x)]2+f(x)=sin2(2x-

π

6

)+sin(2x-

π

6

)=[sin(2x-

π

6

)+

1

2

]2-

1

4

．
当sin(2x-

π

6

)=-

1

2

时，g（x）取得最小值-

1

4

，
当sin(2x-

π

6

)=1时，g（x）取得最大值2，
所以g（x）的值域为[-

1

4

，2]．

点评：本题是基础题，考查三角函数的性质，二倍角公式，两角和与差的三角函数，三角函数的值域的求法，考查计算能力，基本知识的灵活应用能力．