Question

（本小题满分13分）已知函数，．

   （Ⅰ） 求函数在点(1，)处的切线方程；   （Ⅱ） 若函数与在区间上均为增函数,求的取值范围；   （Ⅲ） 若方程有唯一解,试求实数的值．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）因为,所以切线的斜率…………………2分

又,故所求切线方程为,即…………………4分

（Ⅱ）因为,又x>0,所以当x>2时,；当0<x<2时, ．

即在上递增,在（0,2）上递减…5分又,所以在上递增,在上递减……………6分欲与在区间上均为增函数,则,解得…………8分

（Ⅲ） 原方程等价于,令,则原方程即为．  因为当时原方程有唯一解,所以函数与的图象在y轴右侧有唯一的交点…10分又, 且x>0,所以当x>4时,；

当0<x<4时, ．即在上递增,在（0,4）上递减．故h（x）在x=4处取得最小值…12分从而当时原方程有唯一解的充要条件是…13分