Question

（选修4-4：坐标系与参数方程）曲线C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数），在曲线C₁上求一点，使它到直线C₂：

x=-2 2 + 1 2 t  y=1- 1 2 t

（t为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．

Answer 1

分析：将直线的参数方程化为普通方程，曲线C₁任意点P的坐标为（1+cosθ，sinθ），利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值，并求出此时θ的度数，即可确定出所求点P的坐标．

解答：解：将直线C₂化为普通方程得：x+y-1+2

2

=0，
设所求的点为P（1+cosθ，sinθ），
则P到直线C₂的距离d=

|1+cosθ+sinθ+2 2 -1|

2

=|sin（θ+

π

4

）+2|，
当θ+

π

4

=

3π

2

，即θ=

5π

4

时，sin（θ+

π

4

）=-1，d取得最小值1，
此时点P的坐标为（1-

2

2

，-

2

2

）．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C₁的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．