题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ．
（1）用单调性的定义证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（2）若关于x的方程f（x）-3^x-m=0在x∈[1，+∞）上有解，求实数m的最大值；
（3）是否存在负数x₀，使得f（x₀）= $数学公式$ 成立，若存在求出x₀；若不存在，请说明理由．

解：（1）设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$
∵0＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（2）方程f（x）-3^x-m=0等价于m=f（x）-3^x，
由于m=f（x）-3^x在x∈[1，+∞）上单调减
∴ $\text{[math]}$
∴实数m的最大值为 $\text{[math]}$ ；
（3）不存在
假设存在负数x₀，则：因为x₀为负数，所以0＜3^x＜1，所以 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，与前面的假设相矛盾，
所以，不存在负数x₀，使得f（x₀）= $\text{[math]}$ 成立，
分析：（1）用函数单调性的定义，当0＜x₁＜x₂时，判断f（x₁）-f（x₂）＞0，进而证明函数的单调性．
（2）方程f（x）-3^x-m=0等价于m=f（x）-3^x，利用m=f（x）-3^x在x∈[1，+∞）上单调减，可求实数m的最大值为；
（3）假设存在负数x₀，则：因为x₀为负数，所以0＜3^x＜1，所以 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，从而矛盾，故可得结论．
点评：本题的考点是函数最值的应用，主要考查函数的单调性，考查函数的最值，关键是判断出函数的单调性，从而求出函数的最值．