Question

5．设四边形EFGH的四条边长为a，b，c，d，其四个顶点分别在单位正方形ABCD的四条边上，则2a²+b²+2c²+d²的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． $3\sqrt{2}$
• D． $\frac{8}{3}$

Answer 1

分析 不妨设EF=a，FG=b，GH=c，HE=d，且设DG=x，GC=1-x，CF=y，FB=1-y，BE=z，AE=1-z，AH=t，DH=1-t．由勾股定理和二次函数的最值求法：配方，即可得到最小值．

解答 解：不妨设EF=a，FG=b，GH=c，HE=d，
且设DG=x，GC=1-x，CF=y，FB=1-y，
BE=z，AE=1-z，AH=t，DH=1-t．
则2a²+b²+2c²+d²=2[z²+（1-y）²]+[y²+（1-x）²]+2[x²+（1-t）²]+[t²+（1-z）²]
=[2z²+（1-z）²]+[y²+2（1-y）²]+[2x²+（1-x）²]+[t²+2（1-t）²]
=3（z-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{2}{3}$+3（y-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$+3（x-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{2}{3}$+3（t-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，
当x=z=$\frac{1}{3}$，y=t=$\frac{2}{3}$时，取得最小值，且为$\frac{8}{3}$．
故选D．

点评 本题考查直角三角形的勾股定理和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．