Question

已知函数g（x）=ae^x-1-x²+bln（x+1），a，b∈R
（Ⅰ）若a=0，b=1，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）的图象在（0，g（0））处与直线x-ey+1=0相切，
（ⅰ）求a、b的值；
（ⅱ） 求证：?x∈（-1，1），g(x)＜

2

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意求出函数的导数，再分别令g′（x）＞0与g′（x）＜0，解出x的范围，即可得到单调区间．
（Ⅱ）（ⅰ）根据题意可得：切点(0，

1

e

)，切线斜率为

1

e

，根据切点的特殊位置以及导数与斜率之间的关系可得答案．
（ⅱ）由题意可得：g′（x）=e^x-1-2x，记h（x）=e^x-1-2x，利用导数得到其单调性是递减，即可g（x）得单调性进而求出函数g（x）的最大值．

解答：解：（Ⅰ）根据题意可得：g′（x）=-2x+

1

x+1

=

-2x2-2x+1

x+1

，
令g′（x）＞0，解得-1＜x＜

3 -1

2

；令g′（x）＜0，解得x＞

3 -1

2

，
所以增区间是(-1，

3 -1

2

)，减区间是(

3 -1

2

，+∞)；------------------------（3分）
（Ⅱ）（ⅰ）由切线方程可知：切点(0，

1

e

)，切线斜率为

1

e

，
所以g(0)=

a

e

=

1

e

，
因为g/(x)=aex-1-2x+

b

x+1

，所以g/(0)=

a

e

+b=

1

e

，
综上，a=1，b=0．---------------------------------------------------（6分）
（ⅱ）证明：g′（x）=e^x-1-2x，记h（x）=e^x-1-2x，
在（-1，1）上，h′（x）=e^x-1-2＜0，
所以h（x）是减函数，即函数g′（x）在（-1，1）上是减函数，
因为g′（-1）=e^-2+2＞0，g′（1）=-2＜0，
所以g′（x）=0在（-1，1）内恰有一根，记为x₀，
在（-1，x₀）上，g′（x）＞0，g（x）是增函数；在（x₀，1）上，g′（x）＜0，g（x）是减函数，
所以g（x₀）是极大值，也是最大值，只需证明g（x₀）=ex0-1-x02＜

2

2

，---------（9分）
因为g′（0）=e^-1＞0，g/(

1

2

)=e-

1

2

-1=

1

e

-1＜0，所以x₀∈(0，

1

2

)，
所以ex0-1＜e

1

2

-1=

1

e

，-x₀²＜0，g（x₀）=ex0-1-x02＜

1

e

＜

1

2

=

2

2

．---（12分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握导数的几何意义，以及熟练利用导数判断函数的单调性与求函数的极值、最值等问题．