题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，直线y=
1
2
x+1与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上，且满足
OM
=
1
2
OA
+
3
2
OB
．则b=
 
．
分析：先根据离心率求得a和b的关系，进而设出椭圆方程，将直线与椭圆方程联立消去y，求得交点的横坐标，进而根据
OM
=
1
2
OA
+
3
2
OB
分别表示出M的横坐标和纵坐标，代入椭圆方程后化简整理即可求得b．
解答：解：∵由e=
3
2

∴a=2b；
设椭圆方程为
x2
4
+y2=b2
将直线方程与椭圆方程联立得
消去y得：x2+2x+2-2b2=0
则x1=-1+
2b2-1
，x2=-1-
2b2-1
，
OM
=
1
2
OA
+
3
2
OB
=（
x1
2
+
3
x2
2
，
y1
2
+
3
y2
2
）
∴xM=
x1
2
+
3
x2
2
=-
1+
3
2
+（1-
3
）
2b2-1
2

yM=
x1
2
 +1
2
+
3(
x2
2
+1)
2
=
1+
3
2
+
xM
2

∵M在椭圆上，
代入椭圆方程得xM2+（1+
3
）xM+1+
3
2
-2b2=0
求得b2=1，b=1
故答案为：1
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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