Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M为棱DD₁上一点
（1）求三棱锥A-MCC₁的体积；
（2）当A₁M+MC取得最小值时，求AM与A₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由图形直接求出三棱锥的底面积和高，代入体积公式求解；
（2）利用侧面展开分析可得当A₁M+MC取得最小值时，M为DD₁的中点，然后以A为坐标原点，建系后利用空间向量求AM与A₁C所成角的余弦值．

解答：解：（1）如图，

点M到直线CC₁的距离等于CD=1，则三角形MCC₁面积S=

1

2

×2×1=1．
点A到平面MCC₁的距离为AD=1，则三棱锥A-MCC₁的体积V=

1

3

S•AD=

1

3

×1×1=

1

3

．
（2）当A₁M+MC取得最小值时，M为DD₁的中点．
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以A为坐标原点，
分别以AB、AD、AA₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
如图，

则A（0，0，0），M（0，1，1），A₁（0，0，1），C（1，1，0）．
所以

AM

=(0，1，1)，

A1C

=(1，1，-1)．
所以cos＜

AM

，

A1C

＞=

0×1+1×1-1×1

2 • 3

=0．
所以

AM

⊥

A1C

，则AM与A₁C所成角的余弦值为0．

点评：本题考查了锥体的体积，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，关键是建立正确的右手系，是中档题．