Question

（2011•杭州一模）设f（n）=

n2，(n为奇数) -n2，(n为偶数)

（n∈N⁺），若a_n=f（n）+f（n+1），则a₁+a₂+…+a_k=

k，(k为偶数) -k-2，(k为奇数)

（k∈N⁺）

Answer 1

分析：先求出通项公式a_n，然后两项一组，求数列的前k项的和．

解答：解：∵a_n=f（n）+f（n+1），
∴由已知条件知，an=

n2-(n+1)2=-(2n+1)  ， n是奇数 -n2+(n+1)2= 2n+1   ， n是偶数

，
∴an=(-1)n•(2n+1)，∴a_n+a_n+1=2（n是奇数）．
当k为奇数时，a₁+a₂+…+a_k=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_k-2+a_k-1）+a_k=2×

k-1

2

+（-2k-1）=-k-2．
当k为偶数时，a₁+a₂+…+a_k=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_k-1+a_k）=2×

k

2

=k．
综上可得 a₁+a₂+…+a_k=

k，(k为偶数) -k-2，(k为奇数)

，
故答案为

k，(k为偶数) -k-2，(k为奇数)

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法和前n项和的求法，须注意对通项公式和问题的灵活变形，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．