题目内容
【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设Tn= 
，求证：Tn＜ 
．
【答案】
（1）解：数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．
令n=1时，2S1=3a1﹣1，解得：a1=1
（2）解：由于：2Sn=（n+2）an﹣1①
所以：2Sn+1=（n+3）an+1﹣1②
②﹣①得：2an+1=（n+3）an+1﹣（n+2）an，
整理得： 
，则 
，即 
．
∵ ，
∴ 
，…， 
，
利用叠乘法把上面的（n﹣1）个式子相乘得： 
= 
，
∴ 
，当n=1时，a1=1符合上式，
∴数列的通项公式是
（3）证明：∵ ，∴ 
，
∴ 
=2（ 
），
∴Tn= 
=2（ 
…+ 
）
=2（ 
）＜2（ 
）= 
．
故Tn＜
【解析】（1）令n=1，能求出a1．（2）由2Sn=（n+2）an﹣1，得2Sn+1=（n+3）an+1﹣1，从而得到 
，利用利用叠乘法得： 
= 
，由此能求出数列的通项公式．（3）推导出 
=2（ 
），由此利用裂项求和法能证明Tn＜ 
．
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