Question

【题目】已知极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，直线的参数方程为（是参数），曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线交于，两点，点为曲线上一点，求使面积取得最大值时的点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；．（2）

【解析】

（1）利用加减相元法把直线的参数方程化为普通方程，根据极坐标方程与直角方程互化公式把曲线的极坐标方程化成直角坐标方程；

（2）由题知线段的长度为定值，若使面积取得最大值，只需点到直线的距离最大．根据椭圆的参数方程表示点的坐标，根据点到直线距离，结合辅助角公式进行求解即可.

（1）直线的参数方程消参，得普通方程为；

将代入曲线的极坐标方程，

得曲线的直角坐标方程为．

（2）由题知线段的长度为定值，若使面积取得最大值，只需点到直线的距离最大．

因为点在曲线上，所以设，

则点到直线的距离为

，

其中，．当且仅当时，等号成立．

此时，，即．