Question

（2007•无锡二模）数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足3S_n=4014+a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（n）表示该数列的前n项的积，n取何值时，f（n）有最大值？

Answer 1

分析：（1）n=1，求a₁，n≥2，求得

an

an-1

=-

1

2

，数列{a_n}的通项公式可求；
（2）由题意可求得f(n)=2007n(-

1

2

)

n(n-1)

2

，f(n+1)=2007n+1(-

1

2

)

n(n+1)

2

，

|f(n+1)|

|f(n)|

=

2007

2n

，分

|f(n+1)|

|f(n)|

＞1与

|f(n+1)|

|f(n)|

＜1讨论n的取值情况，并对
f（9）、f（10）、f（11）、f（12）逐项判断其正负后比较其大小．

解答：解：（1）∵n=1时，3a₁=4014+a₁，得a₁=2007n≥2时，3S_n=4014+a_n，3S_n-1=4014+a_n-1，
两式相减得：3a_n=a_n-a_n-1
即：

an

an-1

=-

1

2

∴数列{a_n}为首项a₁=2007，公比为-

1

2

的等比数列，∴an=2007(-

1

2

)n-1．
（2）∵f(n)=2007•2007(-

1

2

)•2007(-

1

2

)2•…•2007(-

1

2

)n-1=2007n(-

1

2

)

n(n-1)

2

f(n+1)=2007•2007(-

1

2

)•2007(-

1

2

)2•…•2007(-

1

2

)n-1•2007(-

1

2

)n=2007n+1(-

1

2

)

n(n+1)

2

，
∴

|f(n+1)|

|f(n)|

=

2007

2n

∴当n≤10时，

|f(n+1)|

|f(n)|

＞1，当n＞10时，

|f(n+1)|

|f(n)|

＜1．
∴|f（1）|＜|f（x）|＜…＜|f（10）|，|f（11）|＞|f（12）|＞|f（13）|＞…
又∵f(11)=200711(-

1

2

)

11×10

2

＜0，f(10)=200710(-

1

2

)

10×9

2

＜0，f(9)=20079(-

1

2

)

9×8

2

＞0，f(12)=200712(-

1

2

)

12×11

2

＞0，
（或从f（11）共6正5负相乘，f（10）共5正5负相乘，f（9）共5正4负相乘，f（12）共6正6负相乘也可判断符号）
∴只需比较f（9）与f（12）的大小，就可以确定f（n）的最大值，
又∵

f(12)

f(9)

=

20073

230

=(

2007

210

)3=(

2007

1024

)3＞1，∴f（12）＞f（9），
综上：n=12时，f（n）有最大值．

点评：本题考查数列递推公式，难点在于得到当n≤10时，

|f(n+1)|

|f(n)|

＞1，当n＞10时，

|f(n+1)|

|f(n)|

＜1，需要对f（9）、f（10）、f（11）、f（12）逐项判断其正负，并在同正条件下作商比较，属于难题．