Question

已知实数满足，，设函数

（1）当时，求的极小值；

（2）若函数（）的极小值点与的极小值点相同，求证：的极大值小于等于

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）把代入原函数先得解析式，再求导数，列表判断单调性求函数的极小值；（2）先分别求函数的导函数，再分两种情况讨论，根据条件函数的极小值点相同分别求的极大值，从而进行判断得结论

试题解析：（Ⅰ） 解: 当a＝2时，f ′（x）＝x²－3x＋2＝（x－1）（x－2）  

 列表如下：

x	（－，1）	1	（1，2）	2	（2，＋）
f ′（x）	＋	0	－	0	＋
f （x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

 

所以，f （x）极小值为f （2）＝                          5分

（Ⅱ） 解：f ′（x）＝x²－（a＋1）x＋a＝（x－1）（x－a）

g ′（x）＝3x²＋2bx－（2b＋4）＋＝

令p（x）＝3x²＋（2b＋3）x－1，

（1）当 1＜a≤2时，

f（x）的极小值点x＝a，则g（x）的极小值点也为x＝a，

所以pA＝0，

即3a²＋（2b＋3）a－1＝0，

即b＝，

此时g（x）_极大值＝g（1）＝1＋b－（2b＋4）＝－3－b

＝－3＋ ＝  

由于1＜a≤2，

故 ≤2－－＝               10分

（2）当0＜a＜1时，

f（x）的极小值点x＝1，则g（x）的极小值点为x＝1，

由于p（x）＝0有一正一负两实根，不妨设x₂＜0＜x₁，

所以0＜x₁＜1，

即p（1）＝3＋2b＋3－1＞0，

故b＞－  

此时g（x）的极大值点x＝x₁，

有 g（x₁）＝x₁³＋bx₁²－（2b＋4）x₁＋lnx₁

＜1＋bx₁²－（2b＋4）x₁

＝（x₁²－2x₁）b－4x₁＋1　  （x₁²－2x₁＜0）

＜－（x₁²－2x₁）－4x₁＋1

＝－x₁²＋x₁＋1

＝－（x₁－）²＋1＋   （0＜x₁＜1）

≤＜

综上所述，g（x）的极大值小于等于               14分

考点：利用导数求函数的单调性及极值