Question

一个三棱锥的木块P-ABC，三条侧棱两两成40°，且侧棱长均为20cm，若一只蚂蚁从点A出发绕棱锥的侧面爬行，最后又回到点A，则其最短路径的长（　　）

• A、10

  3

  cm
• B、20

  3

  cm
• C、10(

  3

  +

  7

  )cm
• D、10

  7

  cm

Answer 1

分析：将三棱锥的侧面展开，求蚂蚁爬行的最短路程，可转化为求AA₁的长度，通过解三角形PAA₁，即可得到答案．

解答：解：设过点A作截面AEF与PB、PC侧棱分别交于E、F两点，将三棱锥由PA展开，如图，
则图中∠APA₁=120°，
AA₁为蚂蚁从点A沿侧面先爬到棱PB上的点E处，再爬到棱PC上的点F处，然后回到点A的最短距离，
∵PA=20，
∴由余弦定理可得AA₁=

202+202-2×20×20×cos120°

=20

3

cm．
故选B．

点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点间距离问题，是解答本题的关键．