Question

已知函数f（x）=alnx+x² （a为实常数）．
（1）当a=-4时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数；
（3）若 a＞0，且对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有|f（x₁）-f（x₂）≤100|

1

x1

-

1

x2

|，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=-4时，利用导数的运算法则可得f′(x)=

2x2-4

x

(x＞0)，在区间（0，+∞）上分别解出f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出单调区间；
（2）当x=1时，方程f（x）=0无解．
当x≠1时，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等价于方程 -a=

x2

lnx

（x∈（1，e]）．
设g（x）=

x2

lnx

，则g′(x)=

2xlnx-x2• 1 x

ln2x

=

x(2lnx-1)

ln2x

．分别解出g′（x）＞0与g′（x）＜0即可得出单调性，
又g（e）=e²，g(

e

)=2e，作出y=g（x）与直线y=-a的图象，由图象可知a的范围与方程根的关系；
（3）若a＞0时，f（x）在区间[1，e]上是增函数，函数y=

1

x

在区间[1，e]上是减函数．
不妨设1≤x₁≤x₂≤e，则|f(x1)-f(x2)|≤100|

1

x1

-

1

x2

|等价于f(x2)-f(x1)≤

100

x1

-

100

x2

．
即f(x2)+

100

x2

≤f(x1)+

100

x1

，即函数h(x)=f(x)+

100

x

在x∈[1，e]时是减函数．
可得h′(x)=

a

x

+2x-

100

x2

≤0，即a≤

100

x

-2x2在x∈[1，e]时恒成立．再利用y=

100

x

-2x2在x∈[1，e]时是减函数，即可得出实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=-4时，f′(x)=

2x2-4

x

(x＞0)，
当x∈(0，

2

)时，f'（x）＜0；当x∈(

2

，+∞)时，f'（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间为(0，

2

)，单调递增区间为(

2

，+∞)．
（2）当x=1时，方程f（x）=0无解．
当x≠1时，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等价于方程 -a=

x2

lnx

（x∈（1，e]）．
设g（x）=

x2

lnx

，则g′(x)=

2xlnx-x2• 1 x

ln2x

=

x(2lnx-1)

ln2x

．
当x∈(1，

e

)时，g'（x）＜0，函数g（x）递减，
当x∈(

e

，e]时，g'（x）＞0，函数g（x）递增．
又g（e）=e²，g(

e

)=2e，作出y=g（x）与直线y=-a的图象，由图象知：
当2e＜-a≤e²时，即-e²≤a＜-2e时，方程f（x）=0有2个相异的根；
当a＜-e²或a=-2e时，方程f（x）=0有1个根；                
当a＞-2e时，方程f（x）=0有0个根．
（3）若a＞0时，f（x）在区间[1，e]上是增函数，函数y=

1

x

在区间[1，e]上是减函数．
不妨设1≤x₁≤x₂≤e，
则|f(x1)-f(x2)|≤100|

1

x1

-

1

x2

|等价于f(x2)-f(x1)≤

100

x1

-

100

x2

．
即f(x2)+

100

x2

≤f(x1)+

100

x1

，
即函数h(x)=f(x)+

100

x

在x∈[1，e]时是减函数．
∴h′(x)=

a

x

+2x-

100

x2

≤0，即a≤

100

x

-2x2在x∈[1，e]时恒成立．
∵y=

100

x

-2x2在x∈[1，e]时是减函数，∴a≤

100

e

-2e2．
所以，实数a的取值范围是(0，

100

e

-2e2]．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、适当变形等基础知识与基本技能，考查了数形结合思想方法、推理能力和计算能力．