题目内容
如图，已知正方体
棱长为2，
、
、
分别是
、
和
的中点.
（1）证明：
面
；
（2）求二面角
的余弦值.
（1）证明详见解析；（2）
.
【解析】
试题分析：先以点
为原点建立空间直角坐标系，然后标明有效点的坐标，（1）写出有效向量
的坐标，利用向量的数量积为零即可证明
，从而可得
平面
；（2）易知
为平面
的法向量，先计算
，然后观察二面角
是锐角还是钝角，最终确定二面角的余弦值.
试题解析：以
为原点建立如图空间直角坐标系，正方体棱长为2
则
2分
(1)则
，
3分
∵
∴
4分
∵
∴
5分
又
，
，
6分
∴
面
7分
(2)由(1)知为面的法向量 8分
∵
面
，
为面
的法向量 9分
设
与
夹角为
，则
12分
由图可知二面角
的平面角为
∴二面角的余弦值为 14分.
考点：1.空间向量在解决空间垂直上的应用；2.空间向量在解决空间角中的应用.
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