Question

直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠ABC＝60°，侧棱AA₁长等于3a，O为底面ABCD对角线的交点．

(1)求证：OA₁∥平面B₁CD₁；

(2)求异面直线AC与A₁B所成的角；

(3)在棱AA₁上取一点F，问AF为何值时，C₁F⊥平面BDF？

Answer 1

答案：
解析：

(方法一)(1)连A1C1，设其与B1D1交于点O1． 　　∵A1O1OC，∴四边形A1O1OC为平行四边形， 　　∴OA1//O1C，平面B1CD1，平面B1CD1， 　　∴OA1∥平面B1CD1．　　　　　　　　　　3分 　　(2)∵A1C1//AC，∴就是异面直线AC与A1B所成的角或其补角． 　　由题意得 　　根据余弦定理得　　　　　　　　6分 　　故异面直线AC与A1B所成的角为　　　　　　　　　　7分 　　(3)∵ABCD是菱形，∴又∴平面． 　　∵平面，∴　　　　　　　　　　　　　　　　9分 　　故C1F⊥平面BOF∴．　　　　10分 　　设，则∴即 　　解得 　　故当AF时，C1F⊥平面BOF．　　　　　　　　12分 　　(方法二)以O为原点，OC、OD所在直线分别为 　　x轴、y轴，则O(0，0，0)，，， 　　，， 　　．　　　　3分 　　(1) 　　 　　∴平面，平面， 　　∴OA1∥平面B1CD1．　　　　　　　　　　　　　　　　5分 　　(2)， 　　， 　　于是 　　故异面直线AC与A1B所成的角为　　　　　　　　　　　8分 　　(3)设为上任意一点，则． 　　∵，于是C1F⊥平面BOF 　　解得．即时，C1F⊥平面BOF．　　　　　　　12分